¿Qué es producto vectorial?

Producto Vectorial

El producto vectorial, también conocido como producto cruz, es una operación binaria que se realiza entre dos vectores en un espacio tridimensional y produce un nuevo vector que es perpendicular a ambos. El producto vectorial, a diferencia del producto escalar, produce un vector, no un escalar.

Definición:

Dado dos vectores a y b, su producto vectorial se denota a × b y su magnitud se define como:

|a × b| = |a| |b| sin(θ)

donde θ es el ángulo entre los vectores a y b, y |a| y |b| son las magnitudes de los vectores a y b, respectivamente. La dirección del vector resultante se determina utilizando la regla de la mano derecha.

Propiedades importantes:

• No conmutativo: a × b = - b × a
• Distributivo: a × (b + c) = a × b + a × c
• Producto vectorial de vectores paralelos: Si a y b son paralelos (o colineales), entonces a × b = 0.
• Producto vectorial de vectores ortogonales: Si a y b son ortogonales (perpendiculares), entonces |a × b| = |a||b|.

Cálculo con componentes:

Si a = (a₁, a₂, a₃) y b = (b₁, b₂, b₃), entonces el producto vectorial se puede calcular como:

a × b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)

Esto se puede recordar fácilmente usando un determinante:

a × b = | i j k | | a₁ a₂ a₃ | | b₁ b₂ b₃ |

Donde i, j, y k son los vectores unitarios en las direcciones x, y, y z, respectivamente.

Aplicaciones:

• Cálculo de área de un paralelogramo: La magnitud del producto vectorial de dos vectores adyacentes es igual al área del paralelogramo que forman.
• Cálculo de momento de fuerza (torque): En física, el torque se define como el producto vectorial de la fuerza y el vector de posición.
• Determinación de la normal a un plano: El producto vectorial de dos vectores que yacen en un plano da un vector normal (perpendicular) a ese plano.
• Gráficos 3D y videojuegos: Utilizado para cálculos de iluminación, detección de colisiones y orientación de objetos.

Más información:

Puedes encontrar más información detallada sobre Producto Vectorial y sus aplicaciones en diversas fuentes de matemáticas y física.